Υπολογισμός του Χρυσού Αριθμού Φ – Μαθηματική προσέγγιση (ii)

Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ :

Στο σχήμα 1 έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ . Εστω Γ είναι το σημείο που διαιρεί σε “χρυσή τομή” το ΑΒ . εάν ορίσουμε το ΑΒ = α και ΑΓ = χ τότε θα έχουμε :
==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ)
Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση
χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ – α2 (α στο τετράγωνο) = 0 .
Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ) , πραγματικά έχουμε …
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) …. που σημαίνει ότι. …
Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου , το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α .

σχήμα 1

Β. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ “ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ” ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ (ΣΧΗΜΑ1)

Από το Β υψώνουμε κάθετο ΒΚ=α/2. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΒ=α/2 , γράφομε περιφέρεια Κύκλου . Από το Α φέρνομε την ευθεία ΑΚ , η οποία και θα τέμνει την περιφέρεια του Κύκλου στα σημεία Δ και Ε .

Γράφομε επίσης περιφέρεια Κύκλου με κέντρο το Α και ακτίνα την απόσταση ΑΔ . Το σημείο Γ , όπου η περιφέρεια αυτή τέμνει το τμήμα ΑΒ , είναι το ζητούμενο σημείο , που τέμνει με “ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ” το τμήμα ΑΒ.

Γ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ – Φ –

Θυμάστε ότι στο προηγούμενο “άρθρο” είχαμε πει ότι η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ είναι Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ενός ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ σε δύο μέρη έτσι ώστε :

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ = ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ.
Ε , αυτός ο Λόγος = το πηλίκο είναι ένας σταθερός αριθμός ανεξάρτητα από το μέγεθος , μήκος του τμήματος και καλείται ως
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ο ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ – Φ –

Δ. Η “ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ” ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ

Μην μπερδεύεστε … όταν μιλάμε για ένα μετρήσιμο μέγεθος (εδώ μιλάμε για ένα ευθύγραμμο τμήμα , θα μπορούσαμε να μιλάμε για το ύψος ενός πύργου , για κιλά πατάτες , για μια σφαίρα , για μία “αστρονομική μονάδα” κ.λ.π) στην παραπάνω διατύπωση του προβλήματος της διαίρεσης του “μετρήσιμου μεγέθους=τμήμα ΑΒ” , σημασία δεν έχει το μήκος του τμήματος αφού μιλάμε για λόγο/πηλίκο των τμημάτων του σε μία συγκεκριμένη (ζητούμενη) sxesi μεταξύ τους , η οποία δεν διαταράσσεται είτε το τμήμα είναι 300 χιλ είτε 3 χιλιοστά …. εδώ συγκρίνουμε μέρη ενός συνόλου μεταξύ τους … μιλάμε – έχουμε ΣΥΓΚΡΙΣΗ – ΑΝΑΛΟΓΙΑ !

Αρα : H επιδιωκόμενη κατάτμηση (ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ) σε δύο μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος έτσι ώστε να ΤΗΡΕΙΤΑΙ ότι ….

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ =(είναι ίσος) ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ…
ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. =
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ (Φ)

…είναι ανεξάρτητη από το μήκος – μέγεθος του συνολικού μήκους του ευθύγραμμου τμήματος , ο λόγος αυτός (χρυσός αριθμός) είναι ένας ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ , και γενικεύοντας μπορεί να βρει ανάλογη χρυσή εφαρμογή και σε άλλα μετρήσιμα μεγέθη (θα το δούμε….)

Ε. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ / ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ως “ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ”

Το 1871 για την ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ χρησιμοποιήθηκε και ο όρος “ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ” .Είδαμε στην παράγραφο Α της παρούσης ότι ισχύει :
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) όπου ΑΒ = α και ΑΓ = χ .
Προσέξτε … α=ΑΒ , ίσο δηλαδή με το ευθύγραμμο τμήμα (του παραδείγματος μας) , το οποίο τμήμα θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση – απεικόνιση ΜΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ=1 π.χ 1 μέτρο , 1 αστρονομική μονάδα* ή γενικεύοντας η γραφική παράσταση σε ευθύγραμμο τμήμα πχ 1 τετραγωνικού χιλιόμετρου κ.λ.π .

Αρα …. εάν θέσουμε όπου α=1 (μονάδα μέτρησης του ΤΑΔΕ μεγέθους)
θα έχουμε χ(χ+α) = α2 ==> χ(χ+1) = 1 ==> Χ=1/(1-Χ)=ΑΓ
Θυμάστε όμως ότι :
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ο λόγος… ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΤΟ ΤΜΗΜΑ /προς ΜΕΓΑΛΟ ΤΜΗΜΑ , άρα α=ΑΒ=1(είπαμε α=1) / προς χ=ΑΓ=1/(1-Χ)

                                                    ΑΒ = α = 1                        1
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ——————————- = ——————
                                                    ΑΓ = χ = 1/(1-Χ)           1 / (1-χ)
Αντικαθιστώντας το Χ κάθε φορά με το ίσο του (Χ=1/(1-Χ) θα έχουμε μία συνεχή διαίρεση όπου θα….

ΣΤ . ΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΤΕΛΙΚΑ … Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ?

……(κάνοντας σωστά τις πράξεις….)

ή αλλιώς

Ο Χρυσός Αριθμός Φ αποτελεί ρίζα της γενικής εξίσωσης :

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ είναι δηλαδή ίσος με

Φ= 1,618034 … ισχύει και ότι .. 1/Φ=0,618034

Και μάλιστα τα δεκαδικά συνεχίζονται χωρίς καμία περιοδικότητα – επανάληψη των ψηφίων τυχαία και “χρυσά” . Πάρτε ένα κομπιουτεράκι τσέπης και υψώστε το Φ στο τετράγωνο θα διαπιστώσετε έκπληκτοι ότι εάν υψώσεις  το “Φ” στο τετράγωνο είναι σαν να προσθέτεις την μονάδα…. δηλαδή ισχύει :

Ζ. Leonardo Fibonachi – η Σειρά Fibonachi !!

Ο Leonardo Fibonachi Ιταλός έμπορας (13ος αιώνας μ.Χ.) ο οποίος ταξίδευσε στην Ανατολή , όταν οι ΣΤΑΥΡΟΦΟΡΟΙ κατέλαβαν την ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ το 1204 έκλεψε τα βιβλία των ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ και όταν επέστρεψε έγραψε το Liber Abaci(120 βιβλίο του άβακα).
Στο βιβλίο του Practica geometriae 1220 ο Λενάρδος περιέγραψε,με όμοιο τρόπο την όποια γνώση υπήρχε μέχρι τότε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Ο Leonardo Fibonachi φέρεται να είναι εκείνος που επινόησε την γνωστή με το όνομα του “ακολουθία Φιμπονάτσι” . Η ακολουθία αυτή , έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό , κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων .

Κατασκευή της ακολουθίας Fibonachi .

Ξεκινάμε με το 1 και έχουμε μετά…
1 + 0 = 1(πάλι) 3 + 5 = 8 21 + 34 = 55 κ.ο.κ.
1 + 1 = 2 5 + 8 = 13
1 + 2 = 3 8 + 13 = 21
2 + 3 = 5 …. ===> 13 + 21 = 34

Αρα η σειρά Fibonachi είναι η ακόλουθη 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 κ.ο.κ (μην μου πείτε “ε και..? “…. γιατί..)

Η. Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonachi ΚΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Να δούμε τώρα την καταπληκτική “θεική” sxesi της σειράς Fibonachi με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ=1,618034 .

Κάντε το εξής απλό : διαιρέστε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο όρο (αντιστρέψτε το κλάσμα ) και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το Φ .